v · v = v12 + v22 + v32 = ||v||2
因此，我们可以通过取平方根来得到模。
在更一般的内积空间中，向量的模可以通过内积来定义。给定向量 v，其模定义为：
||v|| = √?v, v?
这里，?v, v? 表示向量 v 与其自身的内积。这个定义保证了模是非负的实数，并且当且仅当向量为零向量时，模等于零。
模的概念在数学和物理学中非常重要，因为它与向量的几何属性密切相关，比如距离、大小和方向。在物理学中，向量的模经常用来表示物理量的大小，例如力的大小、速度的大小等。在数学中，模的概念也被推广到了更一般的抽象空间，如赋范空间和巴拿赫空间，成为分析和几何中的基本概念之一。
? 在普通的（3D）空间中，向量只是箭头。它们指向一个方向并具有长度，我们称之为大小。分量是指向上或向下、向左或向右等方向的分量。
内积只是一个规则，或一个映射，用来将两个向量映射到一个数字。通过方程 14，规则是取每个方向（x，y，z）的分量，将这些分量相乘并求和。
现在将其与方程 12 中卷积的定义比较，我们可以看到卷积所做的事情相同，只是使用的是函数：我们在每个点乘以两个函数并求和。更一般地，我们定义函数 f 和 h 之间的内积：
方程 15:
在函数空间中，两个函数 f(x) 和 h(x) 之间的内积通常定义为一个积分，这个积分依赖于具体的内积空间和所考虑的函数类型。在许多情况下，特别是在实数域上的函数空间，内积可以定义为两个函数的乘积在某个区间上的积分，再加上可能的权重函数。
一个典型的例子是在实数域上的 L2 空间，其中函数 f(x) 和 h(x) 的内积定义为：
?f, h? = ∫[a, b] f(x) * h(x) dx
这里，a 和 b 是积分的上下限，dx 表示对 x 的微分，积分区间 [a, b] 是定义内积的区间。这个内积满足内积空间的公理，包括对称性、线性性和正定性。
如果考虑的是带有权重 w(x) 的函数空间，那么内积的定义会包含这个权重函数：
?f, h? = ∫[a, b] f(x) * h(x) * w(x) dx
权重函数 w(x) 可以是任何非负的可积函数，它在积分中起到调整不同部分重要性的作用。例如，在概率论中，权重函数可能代表概率密度函数，而在其他应用中，它可能有不同的解释。
需要注意的是，内积的定义不是唯一的，它可以依赖于特定的应用和所考虑的函数空间。在某些情况下，内积可能还包括复共轭，尤其是在处理复数域上的函数空间时。例如，在复数域上的 L2 空间，内积定义为：
?f, h? = ∫[a, b] f(x) * conj(h(x)) dx
这里，conj(h(x)) 表示 h(x) 的复共轭。
总结来说，函数 f 和 h 之间的内积通常通过积分来定义，具体形式取决于所考虑的函数空间和应用背景。在实数或复数域上，内积可能包括函数乘积的积分，有时还会加上权重函数或复共轭。若是区间在[-∞,∞]之间，则
卷积实际上只是函数向量空间中的内积，其中一个函数按我们选择的量进行了移位。或者你可以这样说，卷积代表了与一些函数集相关的一组内积，这些函数通过移位函数参数联系起来。
现在在普通的 3D 空间中，我们可以将任何向量表示为三个单位向量（每个方向长度为 1 的向量）的和，其中每个方向是一个维度。我们说这些向量跨越了整个向量空间，这意味着我们可以写出任何向量：
方程 16:
V=Vx*X+Vy*Y+Vz*Z
x 帽是 x 方向的单位向量。其他方向也是如此。
我们可以将分量 v_x, v_y, v_z 定义为与单位向量进行点积的结果：
＜X*V＞=X*V=Vx
那么函数的“分量”的等价物是什么呢？查看方程 15 中内积的定义，这个分量就是f(x)或者函数在x点的值。
这就是函数向量空间和普通三维空间的巨大区别。如果我们考虑的是为所有实数x定义的函数，这意味着向量或函数，有无穷多个分量。换句话说，函数向量空间有无限维。
这确实引入了一些复杂性（例如，随着 x -＞ 无限大，内积 15 可能会增长到无限大），我们现在将忽略这些细节，假设函数都表现良好。
有了这种对 f(x) 的理解，让我们重新写筛选性质
本小章还未完，请点击下一页继续阅读后面精彩内容！