ε? 是真空介电常数（vacuum permittivity），是一个基本的物理常数，其值约为 8.85 × 10?12 C2 / (N m2)。
在电荷密度为零的区域（即没有电荷的地方），泊松方程退化为拉普拉斯方程：
?2φ = 0
这意味着在没有电荷的空间中，电势 φ 的变化是平滑的，不存在电势的突变。
泊松方程的解可以通过多种方法得到，包括直接解微分方程、使用格林函数方法、或者通过数值方法如有限差分法或有限元法。在实际应用中，泊松方程的解可以用来计算电场强度 E，因为电场强度 E 与电势 φ 的关系是：
E = -?φ
因此，通过求解泊松方程，我们可以了解电荷分布如何影响周围的电场分布，这对于设计电子设备、分析电场对物质的影响以及其他许多电静力学问题都是非常重要的。
上面方程 3，是电静力学中的泊松方程
倒三角符号平方被称为拉普拉斯算子（Laplacian）。它定义为每个方向上的二阶偏导数之和。在物理学中经常出现，因此值得定义：
拉普拉斯算子
拉普拉斯算子，也称为拉普拉斯运算符或拉普拉斯微分算子，通常用符号$\Delta$表示。它在数学和物理学中有广泛的应用，特别是在微分方程、场论和图像处理等领域。
拉普拉斯算子是一个二阶微分算子，对一个函数进行操作。具体来说，对于函数$f(x,y,z)$，拉普拉斯算子可以表示为：
$\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}$
这意味着拉普拉斯算子对函数在每个坐标方向上进行二阶导数的计算。
拉普拉斯算子的主要作用是描述物理量在空间中的变化情况。例如，在物理学中，它可以用于描述电场、引力场等的分布和变化。在数学中，拉普拉斯方程（$\Delta f = 0$）在许多问题中起着重要作用，如热传导方程、波动方程等。
此外，拉普拉斯算子在图像处理中也有应用。例如，它可以用于图像的边缘检测，通过对图像应用拉普拉斯算子，可以增强图像中的边缘和轮廓。
总的来说，拉普拉斯算子是一个重要的数学工具，用于研究函数的二阶导数和空间变化，在多个领域中都有重要的应用。
在光学中，我们解决一个类似的方程，称为亥姆霍兹方程（Helmholtz equation），其中我们求解具有某个源 S 给定的波矢的光波的电场 E：
方程 4：
亥姆霍兹电场方程是描述电场特性的一种数学方程。它在电磁学中具有重要地位，特别是在研究电磁波的传播和辐射时。
该方程的常见形式为：
\(abla^2 E - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 E}{\partial t^2} = - \rho/\epsilon_0\)
其中，\(E\) 是电场强度，\(abla^2\) 是拉普拉斯算子，\(\mu_0\) 和 \(\epsilon_0\) 分别是真空的磁导率和介电常数，\(\frac{\partial^2 E}{\partial t^2}\) 表示电场的时间二阶导数，\(\rho\) 是电荷密度。
亥姆霍兹电场方程描述了电场在空间中的变化以及与电荷分布的关系。它表明电场的变化由电荷产生，并且电场的传播速度受到介电常数和磁导率的影响。
通过求解亥姆霍兹电场方程，可以获得电场在不同位置和时间的分布情况，从而了解电场的特性和电磁波的传播行为。这对于电磁学中的许多应用非常重要，例如无线通信、雷达技术、光学等。
在实际应用中，亥姆霍兹电场方程通常需要结合特定的边界条件和初始条件进行求解。求解方法可以包括数值计算方法（如有限元法、时域有限差分法等）或解析方法（对于简单情况）。
总的来说，亥姆霍兹电场方程是电磁学中重要的基础方程之一，它提供了对电场行为的准确描述和预测，有助于我们理解和设计与电磁现象相关的各种系统和设备。
以上是光波电场的标量亥姆霍兹方程
亥姆霍兹方程在形式上非常类似于我们在量子力学中解的与时间无关的Schr?dinger方程。
方程5:
薛定谔方程是描述微观粒子运动状态的基本方程，它在量子力学中具有重要地位。然而，要找到一个完全与时间无关的薛定谔方程是不可能的。
这章没有结束，请点击下一页继续阅读！