傍晚时分，孙元化自袁崇焕处归来。
他回来后的首要之事便是与杜寒探讨几何问题，杜寒无奈只能扮演起教师角色，列出了一堆命题供其研究。
日薄西山，杜寒耐着性子讲解许久，孙元化才勉强完成两道题。
如此缓慢的进度，令杜寒皱眉不已，但孙元化却如获至宝。
“多谢百户大人指点，得蒙教导，学生深感荣幸。”
在解出第二题时，孙元化情不自禁地称杜寒为“先生”，这一称呼让杜寒颇为惊讶。
毕竟杜寒虽有满腹才学，但他深知自身不过是个小小的百户官，怎敢担当兵科给事中的老师？
孙元化却恭敬地说：“先生几何之术堪称当世第一，学生愚昧，望先生不吝赐教。”他语气真诚，毫无虚饰之态。
他曾随徐阁部研习几何，亦曾聆听利玛窦的点拨，然而所学不过六卷，而眼前这些题目，他闻所未闻，能拜先生为师，实乃福分。
杜寒连连推辞：“区区百户，岂敢为人师？此等身份若充任给事之师，恐遭天下非议，亦损给事声名。
若有疑问，我必尽力解答，却万不敢承师徒之名。”
孙元化诚心诚意，杜寒只能婉拒再三。
大明官场派系复杂，即便师生关系看似薄弱，却也能让人同舟共济或同归于尽。
杜寒不愿卷入其中，尤其天启皇帝将不久于世，继位者动辄诿过于人，将来朝堂动荡不安，他不想成为无辜牺牲品。
无论孙元化如何请求，杜寒始终未允，最终孙元化情急之下跪倒在地，重重叩首，自称学生。
杜寒见状无奈，只得将他扶起。