也有例外。例如在模拟具有能量耗散或增益的量子系统时，我们可以使用非厄米哈密顿量来模拟变化，但这种情况相当少见。尤其是你能接触到的，几乎可以肯定所有的哈密顿量都是自伴随的。
对于自伴随算子，格林函数也满足：
方程8:
LG(x，x')=δ(x-x')
这也是你在实践中最常见的定义方式。
有了方程，如何理解它呢。由于 L 是任意的，因此 G 也是如此，让我们从右侧开始：δ函数。
方程9:δ函数∫-∞/∞:f(x-x')dx'=1
回顾一下：我们通过它在积分下的作用来定义δ函数
$\delta$函数是一个在数学和物理学中常用的广义函数，通常用$\delta(x)$表示。它在$x=0$处取值为无穷大，而在其他地方取值为$0$。
$\delta$函数的主要用途是对某些集中在一点或一瞬的物理量进行描述，例如质点的质量、电荷集中在一点，或者脉冲在一瞬间的作用等。虽然$\delta$函数在常规的函数定义下并不满足连续可微等性质，但可以通过分布理论或广义函数的概念来理解和处理。
在数学中，$\delta$函数常用于积分、微分方程和卷积等问题中。例如，对于在$x=0$处有集中质量的线性弹簧系统，其位移可以表示为$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(x)dx$，其中$f(x)$是作用力。
需要注意的是，$\delta$函数的具体形式和定义可能因应用领域和具体问题而有所不同。在实际使用中，需要根据具体情况选择合适的定义和处理方法。
总的来说，$\delta$函数是一种抽象的数学工具，用于描述和处理集中在一点或一瞬的物理现象或数学问题。它在许多领域都有广泛的应用。
以及
方程10:δ(x≠x')=0
δ函数最重要的特性是与函数一起积分时的“筛选性质”
方程 11:
∫f(x')δ(x-x')dx'=f(x)
这是直观的，因为我们可以将δ函数表示为高斯或正弦函数的极限。
当$\delta$趋近于$0$时，高斯函数和正弦函数的极限情况如下：
对于高斯函数，它通常表示为$e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}$，其中$\sigma$是标准差。当$\delta$趋近于$0$时，高斯函数在$x=0$处的取值趋近于$1$，并且在其他点的取值趋近于$0$。这是因为当$\delta$很小时，高斯函数的峰值变得非常尖锐，而在远离峰值的地方函数值迅速下降。
对于正弦函数，它通常表示为$\sin(x)$。当$\delta$趋近于$0$时，正弦函数在$x=0$处的取值为$0$，并且在其他点的取值呈现周期性的变化。具体的变化模式取决于$x$的取值，但一般来说，正弦函数在相邻的峰值和谷值之间的变化是平滑的。
需要注意的是，这里的描述是在一般情况下的简化说明。在具体问题中，可能需要更详细的分析和具体的参数值来确定函数的极限行为。此外，极限的结果还可能受到其他因素的影响，如函数的定义域、边界条件等。
总的来说，当$\delta$趋近于$0$时，高斯函数呈现出尖锐的峰值，而正弦函数呈现出周期性的变化。这些特征在不同的应用中可能具有重要的意义，例如在概率论、信号处理或物理学等领域。
上面介绍了高斯序列表示的函数
和正弦序列 (sin x / x) 表示δ函数
在这里，我们将采取不同的视角，专注于筛选性质。为此，我需要介绍卷积（convolutions）。
卷积是两个函数之间的积分，我们称它们为 f(x) 和 g(x)，但我们通过某个量将其中一个函数偏移，我们将其称为 x。
方程 12:
f×g=∫f(x')g(x-x')dx'
它们是将两个函数“混合”在一起的方式，在信号处理中发挥着基础作用，并因此扩展到机器学习，你可能听说过卷积神经网络。对于这个讨论，让我们将卷积视为一种函数的乘法方式。
我将声称，卷积就像数字的正常乘法。我们可以通过查看一些性质来强调这一点。
? 由于卷积是一种积分，它是线性的，或者遵循分配律：
f×(αg1+βg2)=αf*g1+βf*g2
? 此外，它是交换的：
f*g=∫f(x')g(x-x'dx'=∫f(x-x')g(x')dx'=g*f
? 和结合的：
f*(g1*g2)=(f*g1)*g2
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