就像正常的乘法一样。
此外，两个函数的卷积也是一个函数，就像数字乘法一样，两个数字相乘的结果也是一个数字。
要证明这些，只需明确写下积分。前两个从微积分的规则中立即得出。最后一个需要函数在某种程度上行为良好，允许我们改变积分顺序，但对于物理相关的函数，这通常是这样的。
然而，这不是一个完美的等价。一个（大）问题是定义逆，即卷积类比的 a^(?1)，使得 a × a^(?1) = 1。换句话说，我们如何“去卷积”两个函数？这个问题通常是不适定的。更多关于这个的讨论在下面。
但另一个问题是身份。我们需要一些起到乘以1的作用的东西。我们知道 f(x) × 1 = f(x)，对任何 f 都成立，但哪个函数 I(x) 满足：f(x) * I(x) = f(x)？
δ函数的筛选性质（方程 11），你应该认识到它是以卷积的形式写的。δ函数在将两个函数进行卷积时充当恒等算子。换句话说，δ函数有点像 1。
这种联系并非凭空而来。我们可以在傅里叶变换的背景中看到这种暗示。δ函数可以通过傅里叶变换表示。我们可以看到傅里叶表示的形式是取 1 的逆傅里叶变换：
方程 13:
δ(x-x')=2π^-1∫-∞/∞e^iω(x-x')dω=2π^-1∫-∞/∞1*e^iω(x-x')dω
卷积和内积
在回到格林函数之前，我上面提到，我们的类比到正常乘法的限制是缺乏明确定义的逆。我们可以通过卷积最常见的应用“移动平均”或低通滤波器来了解这一点。
例如，让我们拿一张图片并与高斯函数进行卷积。
使用高斯卷积对金毛犬进行低通滤波
对图像进行二维卷积通常会使其明显模糊。消除一些模糊并非不可能(反卷积是图像处理中的一个老话题)，在实践中，卷积的滤波效果将高分辨率信息映射为零。在线性代数的语言中，存在非平凡的零空间，所以这个运算是不可逆的。
虽然它不是数字正常乘积的完美类比，但卷积确实符合向量内积的所有条件。在不将这变成一整套线性代数课程的情况下，内积是我们三维空间中常规向量点积的概括。
方程 14:
是的，内积（Inner Product）是三维空间中常规向量点积（Dot Product）的一种概括。在数学中，内积是一个定义在向量空间上的函数，它赋予两个向量一个标量值，并且满足一定的性质。在三维欧几里得空间中，内积通常指的是点积，但在更一般的向量空间中，内积的概念被扩展以适应不同的几何和代数结构。
三维空间中的点积定义如下：给定两个向量 a = [a1, a2, a3] 和 b = [b1, b2, b3]，它们的点积（记作 a · b）定义为：
a · b = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3
点积有以下性质：
交换律：a · b = b · a
分配律：a · (b + c) = a · b + a · c
结合律：(ka) · b = a · (kb) = k(a · b)，其中 k 是标量
正定性：a · a ≥ 0，且 a · a = 0 当且仅当 a = 0
在更一般的向量空间中，内积的定义需要满足以下公理：
对称性：?a, b? = ?b, a?
线性性：?ka, b? = k?a, b? 和 ?a + b, c? = ?a, c? + ?b, c?
正定性：?a, a? ≥ 0，且 ?a, a? = 0 当且仅当 a = 0
在不同的向量空间中，内积的具体表达式可能会有所不同，但它总是保留了这些基本的代数和几何性质。例如，在复数向量空间中，内积可能包含共轭操作；在无穷维函数空间中，内积可能是两个函数的积分乘积。
总之，内积是点积的概括，它不仅适用于三维欧几里得空间，还适用于更广泛的数学和物理问题中。内积的概念在泛函分析、量子力学、信号处理等领域都有重要应用。
在向量空间中，向量的模（或长度、范数）是指向量的大小或绝对值。对于具有内积的向量空间，模可以通过内积来定义。在三维欧几里得空间中，向量的模通常是指向量的长度，可以通过点积来计算。
对于一个三维向量 v = [v1, v2, v3]，其模（记作 ||v||）可以通过以下公式计算：
||v|| = √(v12 + v22 + v32)
这个公式实际上是利用了点积的性质，特别是向量与其自身的点积等于其模的平方：
这章没有结束，请点击下一页继续阅读！